Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4608 / 2560
↖ ↑ ↗
← N 55.776573°
E 22.500000°		 ← 2 748.27 m → N 55.776573°
E 22.543945°		 →
↑
2 749.09 m
↓
↑
2 749.09 m
↓
N 55.751850°
E 22.500000°		 ← 2 750.01 m →
7 557 625 m²		 N 55.751850°
E 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56256103515625 y=0.31256103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56256103515625 × 213)
    floor (0.56256103515625 × 8192)
    floor (4608.5)     		tx = 4608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31256103515625 × 213)
    floor (0.31256103515625 × 8192)
    floor (2560.5)     		ty = 2560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4608 / 2560 ti = "13/4608/2560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4608/2560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4608 ÷ 213
    4608 ÷ 8192     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2560 ÷ 213
    2560 ÷ 8192     		y = 0.3125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3125 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1780972450625))-π/2
    2×atan(3.24818781376435)-π/2
    2×1.27214058571537-π/2
    2.54428117143074-1.57079632675     		φ = 0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4608 KachelY 2560 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 4609 KachelY 2560 0.39346607 0.97348484 22.543945 55.776573
    Unten links KachelX 4608 KachelY + 1 2561 0.39269908 0.97305334 22.500000 55.751850
    Unten rechts KachelX + 1 4609 KachelY + 1 2561 0.39346607 0.97305334 22.543945 55.751850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97348484-0.97305334) × R
    0.000431500000000029 × 6371000     		dl = 2749.08650000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97348484-0.97305334) × R
    0.000431500000000029 × 6371000     		dr = 2749.08650000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39346607) × cos(0.97348484) × R
    0.000766990000000023 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 2748.26893341315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39346607) × cos(0.97305334) × R
    0.000766990000000023 × 0.562778243420655 × 6371000     		du = 2750.0121102331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97348484)-sin(0.97305334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.562778243420655)×R²
    abs(0.39346607-0.39269908)×0.000356733697664313×R²
    0.000766990000000023×0.000356733697664313×6371000²
    0.000766990000000023×0.000356733697664313×40589641000000     		ar = 7557625.21241064m²