Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 46080 / 13312
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
E 73.125000°		 ← 184.73 m → N 72.395706°
E 73.130493°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 72.394044°
E 73.125000°		 ← 184.74 m →
34 132 m²		 N 72.394044°
E 73.130493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.703132629394531 y=0.203132629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.703132629394531 × 216)
    floor (0.703132629394531 × 65536)
    floor (46080.5)     		tx = 46080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203132629394531 × 216)
    floor (0.203132629394531 × 65536)
    floor (13312.5)     		ty = 13312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 46080 / 13312 ti = "16/46080/13312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/46080/13312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46080 ÷ 216
    46080 ÷ 65536     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13312 ÷ 216
    13312 ÷ 65536     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46080 KachelY 13312 1.27627202 1.26354343 73.125000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 46081 KachelY 13312 1.27636789 1.26354343 73.130493 72.395706
    Unten links KachelX 46080 KachelY + 1 13313 1.27627202 1.26351443 73.125000 72.394044
    Unten rechts KachelX + 1 46081 KachelY + 1 13313 1.27636789 1.26351443 73.130493 72.394044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.26351443) × R
    2.89999999998347e-05 × 6371000     		dl = 184.758999998947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.26351443) × R
    2.89999999998347e-05 × 6371000     		dr = 184.758999998947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.27636789) × cos(1.26354343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 184.727465542211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.27636789) × cos(1.26351443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302468971803322 × 6371000     		du = 184.74434878194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.26351443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.302468971803322)×R²
    abs(1.27636789-1.27627202)×2.76417449053268e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76417449053268e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76417449053268e-05×40589641000000     		ar = 34131.6214732346m²