Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4640 / 3616
↖ ↑ ↗
← N 20.632784°
E 23.906250°		 ← 4 573.06 m → N 20.632784°
E 23.950195°		 →
↑
4 573.68 m
↓
↑
4 573.68 m
↓
N 20.591652°
E 23.906250°		 ← 4 574.30 m →
20 918 544 m²		 N 20.591652°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56646728515625 y=0.44146728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56646728515625 × 213)
    floor (0.56646728515625 × 8192)
    floor (4640.5)     		tx = 4640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44146728515625 × 213)
    floor (0.44146728515625 × 8192)
    floor (3616.5)     		ty = 3616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4640 / 3616 ti = "13/4640/3616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4640/3616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4640 ÷ 213
    4640 ÷ 8192     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3616 ÷ 213
    3616 ÷ 8192     		y = 0.44140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44140625 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368155389082031))-π/2
    2×atan(1.44506656909631)-π/2
    2×0.965453172903975-π/2
    1.93090634580795-1.57079632675     		φ = 0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4640 KachelY 3616 0.41724277 0.36011002 23.906250 20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 4641 KachelY 3616 0.41800976 0.36011002 23.950195 20.632784
    Unten links KachelX 4640 KachelY + 1 3617 0.41724277 0.35939213 23.906250 20.591652
    Unten rechts KachelX + 1 4641 KachelY + 1 3617 0.41800976 0.35939213 23.950195 20.591652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36011002-0.35939213) × R
    0.000717889999999999 × 6371000     		dl = 4573.67718999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36011002-0.35939213) × R
    0.000717889999999999 × 6371000     		dr = 4573.67718999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41800976) × cos(0.36011002) × R
    0.000766990000000023 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 4573.06413450462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41800976) × cos(0.35939213) × R
    0.000766990000000023 × 0.936110787693217 × 6371000     		du = 4574.29908275966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36011002)-sin(0.35939213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.936110787693217)×R²
    abs(0.41800976-0.41724277)×0.000252726890584087×R²
    0.000766990000000023×0.000252726890584087×6371000²
    0.000766990000000023×0.000252726890584087×40589641000000     		ar = 20918544.1461158m²