Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4864 / 3328
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
E 33.750000°		 ← 4 146.14 m → N 31.952162°
E 33.793945°		 →
↑
4 146.95 m
↓
↑
4 146.95 m
↓
N 31.914868°
E 33.750000°		 ← 4 147.82 m →
17 197 322 m²		 N 31.914868°
E 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59381103515625 y=0.40631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59381103515625 × 213)
    floor (0.59381103515625 × 8192)
    floor (4864.5)     		tx = 4864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40631103515625 × 213)
    floor (0.40631103515625 × 8192)
    floor (3328.5)     		ty = 3328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4864 / 3328 ti = "13/4864/3328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4864/3328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4864 ÷ 213
    4864 ÷ 8192     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3328 ÷ 213
    3328 ÷ 8192     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4864 KachelY 3328 0.58904862 0.55767043 33.750000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 4865 KachelY 3328 0.58981561 0.55767043 33.793945 31.952162
    Unten links KachelX 4864 KachelY + 1 3329 0.58904862 0.55701952 33.750000 31.914868
    Unten rechts KachelX + 1 4865 KachelY + 1 3329 0.58981561 0.55701952 33.793945 31.914868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.55701952) × R
    0.00065091000000006 × 6371000     		dl = 4146.94761000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.55701952) × R
    0.00065091000000006 × 6371000     		dr = 4146.94761000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58981561) × cos(0.55767043) × R
    0.000766990000000023 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 4146.14189538788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58981561) × cos(0.55701952) × R
    0.000766990000000023 × 0.848834535317246 × 6371000     		du = 4147.82426114811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.55701952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.848834535317246)×R²
    abs(0.58981561-0.58904862)×0.000344288973787354×R²
    0.000766990000000023×0.000344288973787354×6371000²
    0.000766990000000023×0.000344288973787354×40589641000000     		ar = 17197322.17232m²