Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 488 / 296
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
W  8.437500°		 ← 19.404 km → N 60.239811°
W  8.085937°		 →
↑
19.456 km
↓
↑
19.456 km
↓
N 60.064840°
W  8.437500°		 ← 19.508 km →
378.532 km²		 N 60.064840°
W  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47705078125 y=0.28955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47705078125 × 210)
    floor (0.47705078125 × 1024)
    floor (488.5)     		tx = 488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28955078125 × 210)
    floor (0.28955078125 × 1024)
    floor (296.5)     		ty = 296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 488 / 296 ti = "10/488/296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/488/296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 488 ÷ 210
    488 ÷ 1024     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 296 ÷ 210
    296 ÷ 1024     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 488 KachelY 296 -0.14726216 1.05138305 -8.437500 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 489 KachelY 296 -0.14112623 1.05138305 -8.085937 60.239811
    Unten links KachelX 488 KachelY + 1 297 -0.14726216 1.04832923 -8.437500 60.064840
    Unten rechts KachelX + 1 489 KachelY + 1 297 -0.14112623 1.04832923 -8.085937 60.064840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.04832923) × R
    0.0030538200000001 × 6371000     		dl = 19455.8872200006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.04832923) × R
    0.0030538200000001 × 6371000     		dr = 19455.8872200006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14112623) × cos(1.05138305) × R
    0.00613593000000001 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 19404.1355250446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14112623) × cos(1.04832923) × R
    0.00613593000000001 × 0.499019617442329 × 6371000     		du = 19507.6798902223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.04832923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.499019617442329)×R²
    abs(-0.14112623--0.14726216)×0.00264873474395999×R²
    0.00613593000000001×0.00264873474395999×6371000²
    0.00613593000000001×0.00264873474395999×40589641000000     		ar = 378532240.299368m²