Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4880 / 2320
↖ ↑ ↗
← N 61.270233°
E 34.453125°		 ← 2 348.84 m → N 61.270233°
E 34.497070°		 →
↑
2 349.62 m
↓
↑
2 349.62 m
↓
N 61.249102°
E 34.453125°		 ← 2 350.42 m →
5 520 738 m²		 N 61.249102°
E 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59576416015625 y=0.28326416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59576416015625 × 213)
    floor (0.59576416015625 × 8192)
    floor (4880.5)     		tx = 4880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28326416015625 × 213)
    floor (0.28326416015625 × 8192)
    floor (2320.5)     		ty = 2320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4880 / 2320 ti = "13/4880/2320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4880/2320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4880 ÷ 213
    4880 ÷ 8192     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2320 ÷ 213
    2320 ÷ 8192     		y = 0.283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283203125 × 2 - 1) × π
    0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36217493960352))-π/2
    2×atan(3.90467650879763)-π/2
    2×1.32008181121254-π/2
    2.64016362242508-1.57079632675     		φ = 1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4880 KachelY 2320 0.60132047 1.06936730 34.453125 61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 4881 KachelY 2320 0.60208746 1.06936730 34.497070 61.270233
    Unten links KachelX 4880 KachelY + 1 2321 0.60132047 1.06899850 34.453125 61.249102
    Unten rechts KachelX + 1 4881 KachelY + 1 2321 0.60208746 1.06899850 34.497070 61.249102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06936730-1.06899850) × R
    0.000368799999999947 × 6371000     		dl = 2349.62479999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06936730-1.06899850) × R
    0.000368799999999947 × 6371000     		dr = 2349.62479999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60208746) × cos(1.06936730) × R
    0.000766990000000023 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 2348.83538077696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60208746) × cos(1.06899850) × R
    0.000766990000000023 × 0.481002504403885 × 6371000     		du = 2350.41551024285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06936730)-sin(1.06899850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.481002504403885)×R²
    abs(0.60208746-0.60132047)×0.000323366752416954×R²
    0.000766990000000023×0.000323366752416954×6371000²
    0.000766990000000023×0.000323366752416954×40589641000000     		ar = 5520738.28005535m²