Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4880 / 3344
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
E 34.453125°		 ← 4 172.93 m → N 31.353637°
E 34.497070°		 →
↑
4 173.77 m
↓
↑
4 173.77 m
↓
N 31.316101°
E 34.453125°		 ← 4 174.59 m →
17 420 319 m²		 N 31.316101°
E 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59576416015625 y=0.40826416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59576416015625 × 213)
    floor (0.59576416015625 × 8192)
    floor (4880.5)     		tx = 4880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40826416015625 × 213)
    floor (0.40826416015625 × 8192)
    floor (3344.5)     		ty = 3344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4880 / 3344 ti = "13/4880/3344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4880/3344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4880 ÷ 213
    4880 ÷ 8192     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3344 ÷ 213
    3344 ÷ 8192     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4880 KachelY 3344 0.60132047 0.54722420 34.453125 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 4881 KachelY 3344 0.60208746 0.54722420 34.497070 31.353637
    Unten links KachelX 4880 KachelY + 1 3345 0.60132047 0.54656908 34.453125 31.316101
    Unten rechts KachelX + 1 4881 KachelY + 1 3345 0.60208746 0.54656908 34.497070 31.316101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.54656908) × R
    0.000655120000000009 × 6371000     		dl = 4173.76952000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.54656908) × R
    0.000655120000000009 × 6371000     		dr = 4173.76952000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60208746) × cos(0.54722420) × R
    0.000766990000000023 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 4172.92899039437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60208746) × cos(0.54656908) × R
    0.000766990000000023 × 0.854312798990235 × 6371000     		du = 4174.59375982703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.54656908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.854312798990235)×R²
    abs(0.60208746-0.60132047)×0.000340687960436736×R²
    0.000766990000000023×0.000340687960436736×6371000²
    0.000766990000000023×0.000340687960436736×40589641000000     		ar = 17420318.634232m²