Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48900 / 81668
↖ ↑ ↗
← S 40.455307°
W 45.692139°		 ← 232.35 m → S 40.455307°
W 45.689392°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
S 40.457397°
W 45.692139°		 ← 232.35 m →
54 001 m²		 S 40.457397°
W 45.689392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373081207275391 y=0.623081207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373081207275391 × 217)
    floor (0.373081207275391 × 131072)
    floor (48900.5)     		tx = 48900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623081207275391 × 217)
    floor (0.623081207275391 × 131072)
    floor (81668.5)     		ty = 81668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48900 / 81668 ti = "17/48900/81668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48900/81668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48900 ÷ 217
    48900 ÷ 131072     		x = 0.373077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81668 ÷ 217
    81668 ÷ 131072     		y = 0.623077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.25384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79747826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.24615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.773318064670746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79747826} λ = -0.79747826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773318064670746))-π/2
    2×atan(0.461479306973993)-π/2
    2×0.432359008027106-π/2
    0.864718016054213-1.57079632675     		φ = -0.70607831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79747826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70607831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.455307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48900 KachelY 81668 -0.79747826 -0.70607831 -45.692139 -40.455307
    Oben rechts KachelX + 1 48901 KachelY 81668 -0.79743033 -0.70607831 -45.689392 -40.455307
    Unten links KachelX 48900 KachelY + 1 81669 -0.79747826 -0.70611479 -45.692139 -40.457397
    Unten rechts KachelX + 1 48901 KachelY + 1 81669 -0.79743033 -0.70611479 -45.689392 -40.457397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70607831--0.70611479) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dl = 232.414080000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70607831--0.70611479) × R
    3.64800000000054e-05 × 6371000     		dr = 232.414080000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79747826--0.79743033) × cos(-0.70607831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.760912327755945 × 6371000     		do = 232.353733055723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79747826--0.79743033) × cos(-0.70611479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.760888657029969 × 6371000     		du = 232.346504914787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70607831)-sin(-0.70611479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760912327755945-0.760888657029969)×R²
    abs(-0.79743033--0.79747826)×2.36707259763103e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36707259763103e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36707259763103e-05×40589641000000     		ar = 54001.4391479942m²