Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49656 / 82424
↖ ↑ ↗
← S 42.016652°
W 43.615723°		 ← 226.92 m → S 42.016652°
W 43.612976°		 →
↑
226.87 m
↓
↑
226.87 m
↓
S 42.018692°
W 43.615723°		 ← 226.91 m →
51 480 m²		 S 42.018692°
W 43.612976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378849029541016 y=0.628849029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378849029541016 × 217)
    floor (0.378849029541016 × 131072)
    floor (49656.5)     		tx = 49656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628849029541016 × 217)
    floor (0.628849029541016 × 131072)
    floor (82424.5)     		ty = 82424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49656 / 82424 ti = "17/49656/82424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49656/82424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49656 ÷ 217
    49656 ÷ 131072     		x = 0.37884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82424 ÷ 217
    82424 ÷ 131072     		y = 0.62884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.809558360783508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76123797} λ = -0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809558360783508))-π/2
    2×atan(0.44505457638086)-π/2
    2×0.418733705808651-π/2
    0.837467411617303-1.57079632675     		φ = -0.73332892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73332892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.016652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49656 KachelY 82424 -0.76123797 -0.73332892 -43.615723 -42.016652
    Oben rechts KachelX + 1 49657 KachelY 82424 -0.76119003 -0.73332892 -43.612976 -42.016652
    Unten links KachelX 49656 KachelY + 1 82425 -0.76123797 -0.73336453 -43.615723 -42.018692
    Unten rechts KachelX + 1 49657 KachelY + 1 82425 -0.76119003 -0.73336453 -43.612976 -42.018692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73332892--0.73336453) × R
    3.56099999999637e-05 × 6371000     		dl = 226.871309999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73332892--0.73336453) × R
    3.56099999999637e-05 × 6371000     		dr = 226.871309999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76123797--0.76119003) × cos(-0.73332892) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.74295032188077 × 6371000     		do = 226.916151844049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76123797--0.76119003) × cos(-0.73336453) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.742926485978668 × 6371000     		du = 226.908871746011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73332892)-sin(-0.73336453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74295032188077-0.742926485978668)×R²
    abs(-0.76119003--0.76123797)×2.38359021025314e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38359021025314e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38359021025314e-05×40589641000000     		ar = 51479.9388117089m²