Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49732 / 82500
↖ ↑ ↗
← S 42.171546°
W 43.406982°		 ← 226.36 m → S 42.171546°
W 43.404236°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 42.173582°
W 43.406982°		 ← 226.36 m →
51 239 m²		 S 42.173582°
W 43.404236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379428863525391 y=0.629428863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379428863525391 × 217)
    floor (0.379428863525391 × 131072)
    floor (49732.5)     		tx = 49732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629428863525391 × 217)
    floor (0.629428863525391 × 131072)
    floor (82500.5)     		ty = 82500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49732 / 82500 ti = "17/49732/82500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49732/82500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49732 ÷ 217
    49732 ÷ 131072     		x = 0.379425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82500 ÷ 217
    82500 ÷ 131072     		y = 0.629425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.24114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75759476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.25885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.813201565154633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75759476} λ = -0.75759476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813201565154633))-π/2
    2×atan(0.443436101610139)-π/2
    2×0.417381996308636-π/2
    0.834763992617272-1.57079632675     		φ = -0.73603233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75759476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.406982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73603233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.171546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49732 KachelY 82500 -0.75759476 -0.73603233 -43.406982 -42.171546
    Oben rechts KachelX + 1 49733 KachelY 82500 -0.75754682 -0.73603233 -43.404236 -42.171546
    Unten links KachelX 49732 KachelY + 1 82501 -0.75759476 -0.73606786 -43.406982 -42.173582
    Unten rechts KachelX + 1 49733 KachelY + 1 82501 -0.75754682 -0.73606786 -43.404236 -42.173582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73603233--0.73606786) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73603233--0.73606786) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75759476--0.75754682) × cos(-0.73603233) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741138091000486 × 6371000     		do = 226.362649886387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75759476--0.75754682) × cos(-0.73606786) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741114237374376 × 6371000     		du = 226.35536437498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73603233)-sin(-0.73606786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741138091000486-0.741114237374376)×R²
    abs(-0.75754682--0.75759476)×2.38536261100153e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38536261100153e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38536261100153e-05×40589641000000     		ar = 51238.9938247458m²