Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49736 / 82504
↖ ↑ ↗
← S 42.179688°
W 43.395996°		 ← 226.29 m → S 42.179688°
W 43.393250°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 42.181724°
W 43.395996°		 ← 226.28 m →
51 207 m²		 S 42.181724°
W 43.393250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379459381103516 y=0.629459381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379459381103516 × 217)
    floor (0.379459381103516 × 131072)
    floor (49736.5)     		tx = 49736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629459381103516 × 217)
    floor (0.629459381103516 × 131072)
    floor (82504.5)     		ty = 82504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49736 / 82504 ti = "17/49736/82504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49736/82504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49736 ÷ 217
    49736 ÷ 131072     		x = 0.37945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82504 ÷ 217
    82504 ÷ 131072     		y = 0.62945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.2589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813393312753113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75740301} λ = -0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813393312753113))-π/2
    2×atan(0.443351081953994)-π/2
    2×0.417310945157912-π/2
    0.834621890315825-1.57079632675     		φ = -0.73617444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73617444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.179688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49736 KachelY 82504 -0.75740301 -0.73617444 -43.395996 -42.179688
    Oben rechts KachelX + 1 49737 KachelY 82504 -0.75735508 -0.73617444 -43.393250 -42.179688
    Unten links KachelX 49736 KachelY + 1 82505 -0.75740301 -0.73620996 -43.395996 -42.181724
    Unten rechts KachelX + 1 49737 KachelY + 1 82505 -0.75735508 -0.73620996 -43.393250 -42.181724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73617444--0.73620996) × R
    3.55200000000666e-05 × 6371000     		dl = 226.297920000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73617444--0.73620996) × R
    3.55200000000666e-05 × 6371000     		dr = 226.297920000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75740301--0.75735508) × cos(-0.73617444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741042677597335 × 6371000     		do = 226.286296347896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75740301--0.75735508) × cos(-0.73620996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741018826944238 × 6371000     		du = 226.27901326405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73617444)-sin(-0.73620996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741042677597335-0.741018826944238)×R²
    abs(-0.75735508--0.75740301)×2.38506530972904e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38506530972904e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38506530972904e-05×40589641000000     		ar = 51207.2941202068m²