Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49924 / 82692
↖ ↑ ↗
← S 42.561173°
W 42.879639°		 ← 224.96 m → S 42.561173°
W 42.876892°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 42.563196°
W 42.879639°		 ← 224.96 m →
50 607 m²		 S 42.563196°
W 42.876892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380893707275391 y=0.630893707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380893707275391 × 217)
    floor (0.380893707275391 × 131072)
    floor (49924.5)     		tx = 49924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630893707275391 × 217)
    floor (0.630893707275391 × 131072)
    floor (82692.5)     		ty = 82692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49924 / 82692 ti = "17/49924/82692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49924/82692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49924 ÷ 217
    49924 ÷ 131072     		x = 0.380889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82692 ÷ 217
    82692 ÷ 131072     		y = 0.630889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.23822021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74839088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.26177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.822405449881683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74839088} λ = -0.74839088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822405449881683))-π/2
    2×atan(0.439373491424136)-π/2
    2×0.413981863488237-π/2
    0.827963726976473-1.57079632675     		φ = -0.74283260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74839088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.879639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74283260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.561173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49924 KachelY 82692 -0.74839088 -0.74283260 -42.879639 -42.561173
    Oben rechts KachelX + 1 49925 KachelY 82692 -0.74834294 -0.74283260 -42.876892 -42.561173
    Unten links KachelX 49924 KachelY + 1 82693 -0.74839088 -0.74286791 -42.879639 -42.563196
    Unten rechts KachelX + 1 49925 KachelY + 1 82693 -0.74834294 -0.74286791 -42.876892 -42.563196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74283260--0.74286791) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74283260--0.74286791) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74839088--0.74834294) × cos(-0.74283260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736555610750693 × 6371000     		do = 224.963042464535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74839088--0.74834294) × cos(-0.74286791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736531727420022 × 6371000     		du = 224.955747880591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74283260)-sin(-0.74286791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736555610750693-0.736531727420022)×R²
    abs(-0.74834294--0.74839088)×2.38833306706043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38833306706043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38833306706043e-05×40589641000000     		ar = 50606.8677929071m²