Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51208 / 88072
↖ ↑ ↗
← S 52.496160°
W 39.353027°		 ← 185.95 m → S 52.496160°
W 39.350281°		 →
↑
185.91 m
↓
↑
185.91 m
↓
S 52.497832°
W 39.353027°		 ← 185.94 m →
34 568 m²		 S 52.497832°
W 39.350281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390689849853516 y=0.671939849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390689849853516 × 217)
    floor (0.390689849853516 × 131072)
    floor (51208.5)     		tx = 51208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671939849853516 × 217)
    floor (0.671939849853516 × 131072)
    floor (88072.5)     		ty = 88072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51208 / 88072 ti = "17/51208/88072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51208/88072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51208 ÷ 217
    51208 ÷ 131072     		x = 0.39068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88072 ÷ 217
    88072 ÷ 131072     		y = 0.67193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.2186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68683990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.3438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08030596983759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68683990} λ = -0.68683990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08030596983759))-π/2
    2×atan(0.339491635551541)-π/2
    2×0.327282749171924-π/2
    0.654565498343848-1.57079632675     		φ = -0.91623083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68683990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.353027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91623083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.496160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51208 KachelY 88072 -0.68683990 -0.91623083 -39.353027 -52.496160
    Oben rechts KachelX + 1 51209 KachelY 88072 -0.68679196 -0.91623083 -39.350281 -52.496160
    Unten links KachelX 51208 KachelY + 1 88073 -0.68683990 -0.91626001 -39.353027 -52.497832
    Unten rechts KachelX + 1 51209 KachelY + 1 88073 -0.68679196 -0.91626001 -39.350281 -52.497832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91623083--0.91626001) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dl = 185.905779999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91623083--0.91626001) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dr = 185.905779999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68683990--0.68679196) × cos(-0.91623083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608814603971186 × 6371000     		do = 185.947650940585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68683990--0.68679196) × cos(-0.91626001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608791454852227 × 6371000     		du = 185.940580603796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91623083)-sin(-0.91626001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608814603971186-0.608791454852227)×R²
    abs(-0.68679196--0.68683990)×2.31491189587318e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31491189587318e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31491189587318e-05×40589641000000     		ar = 34568.085881429m²