Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51216 / 79888
↖ ↑ ↗
← S 36.633162°
W 39.331055°		 ← 245.04 m → S 36.633162°
W 39.328308°		 →
↑
245.09 m
↓
↑
245.09 m
↓
S 36.635366°
W 39.331055°		 ← 245.04 m →
60 058 m²		 S 36.635366°
W 39.328308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390750885009766 y=0.609500885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390750885009766 × 217)
    floor (0.390750885009766 × 131072)
    floor (51216.5)     		tx = 51216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609500885009766 × 217)
    floor (0.609500885009766 × 131072)
    floor (79888.5)     		ty = 79888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51216 / 79888 ti = "17/51216/79888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51216/79888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51216 ÷ 217
    51216 ÷ 131072     		x = 0.3907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79888 ÷ 217
    79888 ÷ 131072     		y = 0.6094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.218994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.687990383347046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68645640} λ = -0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687990383347046))-π/2
    2×atan(0.502585058188273)-π/2
    2×0.465713516412953-π/2
    0.931427032825905-1.57079632675     		φ = -0.63936929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63936929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.633162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51216 KachelY 79888 -0.68645640 -0.63936929 -39.331055 -36.633162
    Oben rechts KachelX + 1 51217 KachelY 79888 -0.68640847 -0.63936929 -39.328308 -36.633162
    Unten links KachelX 51216 KachelY + 1 79889 -0.68645640 -0.63940776 -39.331055 -36.635366
    Unten rechts KachelX + 1 51217 KachelY + 1 79889 -0.68640847 -0.63940776 -39.328308 -36.635366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63936929--0.63940776) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dl = 245.092370000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63936929--0.63940776) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dr = 245.092370000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68645640--0.68640847) × cos(-0.63936929) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.802472255461265 × 6371000     		do = 245.044556945913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68645640--0.68640847) × cos(-0.63940776) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.802449300224985 × 6371000     		du = 245.037547288363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63936929)-sin(-0.63940776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802472255461265-0.802449300224985)×R²
    abs(-0.68640847--0.68645640)×2.29552362799312e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.29552362799312e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.29552362799312e-05×40589641000000     		ar = 60057.6922180107m²