Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51240 / 84008
↖ ↑ ↗
← S 45.166547°
W 39.265137°		 ← 215.34 m → S 45.166547°
W 39.262390°		 →
↑
215.34 m
↓
↑
215.34 m
↓
S 45.168484°
W 39.265137°		 ← 215.33 m →
46 370 m²		 S 45.168484°
W 39.262390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390933990478516 y=0.640933990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390933990478516 × 217)
    floor (0.390933990478516 × 131072)
    floor (51240.5)     		tx = 51240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640933990478516 × 217)
    floor (0.640933990478516 × 131072)
    floor (84008.5)     		ty = 84008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51240 / 84008 ti = "17/51240/84008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51240/84008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51240 ÷ 217
    51240 ÷ 131072     		x = 0.39093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84008 ÷ 217
    84008 ÷ 131072     		y = 0.64093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.2181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68530592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.2818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.885490409781677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68530592} λ = -0.68530592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885490409781677))-π/2
    2×atan(0.412511823832566)-π/2
    2×0.391245683575433-π/2
    0.782491367150866-1.57079632675     		φ = -0.78830496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68530592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78830496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.166547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51240 KachelY 84008 -0.68530592 -0.78830496 -39.265137 -45.166547
    Oben rechts KachelX + 1 51241 KachelY 84008 -0.68525798 -0.78830496 -39.262390 -45.166547
    Unten links KachelX 51240 KachelY + 1 84009 -0.68530592 -0.78833876 -39.265137 -45.168484
    Unten rechts KachelX + 1 51241 KachelY + 1 84009 -0.68525798 -0.78833876 -39.262390 -45.168484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78830496--0.78833876) × R
    3.37999999999727e-05 × 6371000     		dl = 215.339799999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78830496--0.78833876) × R
    3.37999999999727e-05 × 6371000     		dr = 215.339799999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68530592--0.68525798) × cos(-0.78830496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705048381156457 × 6371000     		do = 215.339923550372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68530592--0.68525798) × cos(-0.78833876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705024411172543 × 6371000     		du = 215.332602500297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78830496)-sin(-0.78833876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705048381156457-0.705024411172543)×R²
    abs(-0.68525798--0.68530592)×2.3969983914407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3969983914407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3969983914407e-05×40589641000000     		ar = 46370.4678171774m²