Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51328 / 88192
↖ ↑ ↗
← S 52.696361°
W 39.023438°		 ← 185.10 m → S 52.696361°
W 39.020691°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
S 52.698026°
W 39.023438°		 ← 185.09 m →
34 269 m²		 S 52.698026°
W 39.020691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391605377197266 y=0.672855377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391605377197266 × 217)
    floor (0.391605377197266 × 131072)
    floor (51328.5)     		tx = 51328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672855377197266 × 217)
    floor (0.672855377197266 × 131072)
    floor (88192.5)     		ty = 88192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51328 / 88192 ti = "17/51328/88192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51328/88192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51328 ÷ 217
    51328 ÷ 131072     		x = 0.3916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88192 ÷ 217
    88192 ÷ 131072     		y = 0.6728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3916015625 × 2 - 1) × π
    -0.216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68108747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6728515625 × 2 - 1) × π
    -0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68108747} λ = -0.68108747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08605839779199))-π/2
    2×atan(0.337544340583644)-π/2
    2×0.325535661089015-π/2
    0.65107132217803-1.57079632675     		φ = -0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68108747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51328 KachelY 88192 -0.68108747 -0.91972500 -39.023438 -52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 51329 KachelY 88192 -0.68103953 -0.91972500 -39.020691 -52.696361
    Unten links KachelX 51328 KachelY + 1 88193 -0.68108747 -0.91975406 -39.023438 -52.698026
    Unten rechts KachelX + 1 51329 KachelY + 1 88193 -0.68103953 -0.91975406 -39.020691 -52.698026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91972500--0.91975406) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dl = 185.14126000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91972500--0.91975406) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dr = 185.14126000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68108747--0.68103953) × cos(-0.91972500) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 185.099886886372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68108747--0.68103953) × cos(-0.91975406) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.606015808581957 × 6371000     		du = 185.09282678815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91972500)-sin(-0.91975406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.606015808581957)×R²
    abs(-0.68103953--0.68108747)×2.3115596683998e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3115596683998e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3115596683998e-05×40589641000000     		ar = 34268.9727286033m²