Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51458 / 84226
↖ ↑ ↗
← S 45.587134°
W 38.666382°		 ← 213.70 m → S 45.587134°
W 38.663635°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 45.589056°
W 38.666382°		 ← 213.69 m →
45 663 m²		 S 45.589056°
W 38.663635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392597198486328 y=0.642597198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392597198486328 × 217)
    floor (0.392597198486328 × 131072)
    floor (51458.5)     		tx = 51458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642597198486328 × 217)
    floor (0.642597198486328 × 131072)
    floor (84226.5)     		ty = 84226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51458 / 84226 ti = "17/51458/84226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51458/84226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51458 ÷ 217
    51458 ÷ 131072     		x = 0.392593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84226 ÷ 217
    84226 ÷ 131072     		y = 0.642593383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392593383789062 × 2 - 1) × π
    -0.214813232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.67485567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642593383789062 × 2 - 1) × π
    -0.285186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.895940653898849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67485567} λ = -0.67485567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895940653898849))-π/2
    2×atan(0.4082234210275)-π/2
    2×0.387575369809935-π/2
    0.775150739619869-1.57079632675     		φ = -0.79564559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67485567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.666382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79564559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.587134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51458 KachelY 84226 -0.67485567 -0.79564559 -38.666382 -45.587134
    Oben rechts KachelX + 1 51459 KachelY 84226 -0.67480774 -0.79564559 -38.663635 -45.587134
    Unten links KachelX 51458 KachelY + 1 84227 -0.67485567 -0.79567913 -38.666382 -45.589056
    Unten rechts KachelX + 1 51459 KachelY + 1 84227 -0.67480774 -0.79567913 -38.663635 -45.589056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79564559--0.79567913) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79564559--0.79567913) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67485567--0.67480774) × cos(-0.79564559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699823756933748 × 6371000     		do = 213.699603059647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67485567--0.67480774) × cos(-0.79567913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699799798396479 × 6371000     		du = 213.69228703207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79564559)-sin(-0.79567913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699823756933748-0.699799798396479)×R²
    abs(-0.67480774--0.67485567)×2.39585372694417e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39585372694417e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39585372694417e-05×40589641000000     		ar = 45663.2632861602m²