Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51460 / 84228
↖ ↑ ↗
← S 45.590978°
W 38.660889°		 ← 213.73 m → S 45.590978°
W 38.658142°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 45.592900°
W 38.660889°		 ← 213.72 m →
45 670 m²		 S 45.592900°
W 38.658142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392612457275391 y=0.642612457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392612457275391 × 217)
    floor (0.392612457275391 × 131072)
    floor (51460.5)     		tx = 51460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642612457275391 × 217)
    floor (0.642612457275391 × 131072)
    floor (84228.5)     		ty = 84228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51460 / 84228 ti = "17/51460/84228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51460/84228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51460 ÷ 217
    51460 ÷ 131072     		x = 0.392608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84228 ÷ 217
    84228 ÷ 131072     		y = 0.642608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.21478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67475980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.28521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89603652769809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67475980} λ = -0.67475980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89603652769809))-π/2
    2×atan(0.408184284973278)-π/2
    2×0.387541823577381-π/2
    0.775083647154761-1.57079632675     		φ = -0.79571268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67475980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.660889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79571268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.590978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51460 KachelY 84228 -0.67475980 -0.79571268 -38.660889 -45.590978
    Oben rechts KachelX + 1 51461 KachelY 84228 -0.67471186 -0.79571268 -38.658142 -45.590978
    Unten links KachelX 51460 KachelY + 1 84229 -0.67475980 -0.79574622 -38.660889 -45.592900
    Unten rechts KachelX + 1 51461 KachelY + 1 84229 -0.67471186 -0.79574622 -38.658142 -45.592900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79571268--0.79574622) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79571268--0.79574622) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67475980--0.67471186) × cos(-0.79571268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699775831928357 × 6371000     		do = 213.729551300694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67475980--0.67471186) × cos(-0.79574622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699751871816427 × 6371000     		du = 213.722233265777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79571268)-sin(-0.79574622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699775831928357-0.699751871816427)×R²
    abs(-0.67471186--0.67475980)×2.3960111930954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3960111930954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3960111930954e-05×40589641000000     		ar = 45669.6625118885m²