Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52224 / 78848
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
W 36.562500°		 ← 252.29 m → S 34.307144°
W 36.559753°		 →
↑
252.23 m
↓
↑
252.23 m
↓
S 34.309412°
W 36.562500°		 ← 252.28 m →
63 634 m²		 S 34.309412°
W 36.559753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398441314697266 y=0.601566314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398441314697266 × 217)
    floor (0.398441314697266 × 131072)
    floor (52224.5)     		tx = 52224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601566314697266 × 217)
    floor (0.601566314697266 × 131072)
    floor (78848.5)     		ty = 78848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52224 / 78848 ti = "17/52224/78848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52224/78848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52224 ÷ 217
    52224 ÷ 131072     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78848 ÷ 217
    78848 ÷ 131072     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52224 KachelY 78848 -0.63813601 -0.59877262 -36.562500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 52225 KachelY 78848 -0.63808807 -0.59877262 -36.559753 -34.307144
    Unten links KachelX 52224 KachelY + 1 78849 -0.63813601 -0.59881221 -36.562500 -34.309412
    Unten rechts KachelX + 1 52225 KachelY + 1 78849 -0.63808807 -0.59881221 -36.559753 -34.309412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.59881221) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dl = 252.227889999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.59881221) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dr = 252.227889999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.63808807) × cos(-0.59877262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 252.290220474437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.63808807) × cos(-0.59881221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.82600570922517 × 6371000     		du = 252.283404984157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.59881221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.82600570922517)×R²
    abs(-0.63808807--0.63813601)×2.23147213461727e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23147213461727e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23147213461727e-05×40589641000000     		ar = 63633.7704578482m²