Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 523 / 331
↖ ↑ ↗
← N 53.540308°
E  3.867187°		 ← 23.231 km → N 53.540308°
E  4.218750°		 →
↑
23.288 km
↓
↑
23.288 km
↓
N 53.330873°
E  3.867187°		 ← 23.345 km →
542.335 km²		 N 53.330873°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51123046875 y=0.32373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51123046875 × 210)
    floor (0.51123046875 × 1024)
    floor (523.5)     		tx = 523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32373046875 × 210)
    floor (0.32373046875 × 1024)
    floor (331.5)     		ty = 331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 523 / 331 ti = "10/523/331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/523/331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 523 ÷ 210
    523 ÷ 1024     		x = 0.5107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 331 ÷ 210
    331 ÷ 1024     		y = 0.3232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    0.353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11060209039746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06749515} λ = 0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11060209039746))-π/2
    2×atan(3.03618590259477)-π/2
    2×1.25262548664378-π/2
    2.50525097328757-1.57079632675     		φ = 0.93445465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93445465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.540308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 523 KachelY 331 0.06749515 0.93445465 3.867187 53.540308
    Oben rechts KachelX + 1 524 KachelY 331 0.07363108 0.93445465 4.218750 53.540308
    Unten links KachelX 523 KachelY + 1 332 0.06749515 0.93079933 3.867187 53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 524 KachelY + 1 332 0.07363108 0.93079933 4.218750 53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93445465-0.93079933) × R
    0.00365532000000002 × 6371000     		dl = 23288.0437200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93445465-0.93079933) × R
    0.00365532000000002 × 6371000     		dr = 23288.0437200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06749515-0.07363108) × cos(0.93445465) × R
    0.00613593 × 0.594257126156798 × 6371000     		do = 23230.7055361205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06749515-0.07363108) × cos(0.93079933) × R
    0.00613593 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 23345.4760163997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93445465)-sin(0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594257126156798-0.597193032501625)×R²
    abs(0.07363108-0.06749515)×0.0029359063448271×R²
    0.00613593×0.0029359063448271×6371000²
    0.00613593×0.0029359063448271×40589641000000     		ar = 542334680.01393m²