Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 527 / 369
↖ ↑ ↗
← N 44.840291°
E  5.273438°		 ← 27.719 km → N 44.840291°
E  5.625000°		 →
↑
27.779 km
↓
↑
27.779 km
↓
N 44.590467°
E  5.273438°		 ← 27.839 km →
771.679 km²		 N 44.590467°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51513671875 y=0.36083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51513671875 × 210)
    floor (0.51513671875 × 1024)
    floor (527.5)     		tx = 527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36083984375 × 210)
    floor (0.36083984375 × 1024)
    floor (369.5)     		ty = 369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 527 / 369 ti = "10/527/369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/527/369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 527 ÷ 210
    527 ÷ 1024     		x = 0.5146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 369 ÷ 210
    369 ÷ 1024     		y = 0.3603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5146484375 × 2 - 1) × π
    0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09203885} λ = 0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877437010645508))-π/2
    2×atan(2.40472850787118)-π/2
    2×1.17670351809762-π/2
    2.35340703619524-1.57079632675     		φ = 0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 527 KachelY 369 0.09203885 0.78261071 5.273438 44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 528 KachelY 369 0.09817477 0.78261071 5.625000 44.840291
    Unten links KachelX 527 KachelY + 1 370 0.09203885 0.77825047 5.273438 44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 528 KachelY + 1 370 0.09817477 0.77825047 5.625000 44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78261071-0.77825047) × R
    0.00436024000000002 × 6371000     		dl = 27779.0890400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78261071-0.77825047) × R
    0.00436024000000002 × 6371000     		dr = 27779.0890400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09203885-0.09817477) × cos(0.78261071) × R
    0.00613591999999999 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 27719.1241339837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09203885-0.09817477) × cos(0.77825047) × R
    0.00613591999999999 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 27839.0503702834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78261071)-sin(0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.712142857825438)×R²
    abs(0.09817477-0.09203885)×0.00306779906321153×R²
    0.00613591999999999×0.00306779906321153×6371000²
    0.00613591999999999×0.00306779906321153×40589641000000     		ar = 771678960.80427m²