Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53247 / 4095
↖ ↑ ↗
← N 82.676985°
E112.494507°		 ← 77.86 m → N 82.676985°
E112.500000°		 →
↑
77.85 m
↓
↑
77.85 m
↓
N 82.676285°
E112.494507°		 ← 77.87 m →
6 062 m²		 N 82.676285°
E112.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812492370605469 y=0.0624923706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812492370605469 × 216)
    floor (0.812492370605469 × 65536)
    floor (53247.5)     		tx = 53247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0624923706054688 × 216)
    floor (0.0624923706054688 × 65536)
    floor (4095.5)     		ty = 4095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53247 / 4095 ti = "16/53247/4095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53247/4095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53247 ÷ 216
    53247 ÷ 65536     		x = 0.812484741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4095 ÷ 216
    4095 ÷ 65536     		y = 0.0624847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812484741210938 × 2 - 1) × π
    0.624969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96339953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0624847412109375 × 2 - 1) × π
    0.875030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.74898944561174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96339953} λ = 1.96339953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74898944561174))-π/2
    2×atan(15.6268321384894)-π/2
    2×1.50689096695994-π/2
    3.01378193391988-1.57079632675     		φ = 1.44298561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96339953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44298561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53247 KachelY 4095 1.96339953 1.44298561 112.494507 82.676985
    Oben rechts KachelX + 1 53248 KachelY 4095 1.96349541 1.44298561 112.500000 82.676985
    Unten links KachelX 53247 KachelY + 1 4096 1.96339953 1.44297339 112.494507 82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 53248 KachelY + 1 4096 1.96349541 1.44297339 112.500000 82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44298561-1.44297339) × R
    1.22200000001182e-05 × 6371000     		dl = 77.8536200007534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44298561-1.44297339) × R
    1.22200000001182e-05 × 6371000     		dr = 77.8536200007534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96339953-1.96349541) × cos(1.44298561) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.127463023887498 × 6371000     		do = 77.8609767869021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96339953-1.96349541) × cos(1.44297339) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 77.8683804998022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44298561)-sin(1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127463023887498-0.127475144203388)×R²
    abs(1.96349541-1.96339953)×1.21203158909289e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.21203158909289e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.21203158909289e-05×40589641000000     		ar = 6062.04710280715m²