Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 534 / 338
↖ ↑ ↗
← N 52.052490°
E  7.734375°		 ← 24.039 km → N 52.052490°
E  8.085937°		 →
↑
24.097 km
↓
↑
24.097 km
↓
N 51.835778°
E  7.734375°		 ← 24.156 km →
580.684 km²		 N 51.835778°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52197265625 y=0.33056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52197265625 × 210)
    floor (0.52197265625 × 1024)
    floor (534.5)     		tx = 534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33056640625 × 210)
    floor (0.33056640625 × 1024)
    floor (338.5)     		ty = 338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 534 / 338 ti = "10/534/338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/534/338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 534 ÷ 210
    534 ÷ 1024     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 338 ÷ 210
    338 ÷ 1024     		y = 0.330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330078125 × 2 - 1) × π
    0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06765062833789))-π/2
    2×atan(2.90853822948569)-π/2
    2×1.23964183472267-π/2
    2.47928366944534-1.57079632675     		φ = 0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 534 KachelY 338 0.13499031 0.90848734 7.734375 52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 535 KachelY 338 0.14112623 0.90848734 8.085937 52.052490
    Unten links KachelX 534 KachelY + 1 339 0.13499031 0.90470499 7.734375 51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 535 KachelY + 1 339 0.14112623 0.90470499 8.085937 51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90848734-0.90470499) × R
    0.00378234999999993 × 6371000     		dl = 24097.3518499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90848734-0.90470499) × R
    0.00378234999999993 × 6371000     		dr = 24097.3518499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.14112623) × cos(0.90848734) × R
    0.00613591999999999 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 24039.1740115329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.14112623) × cos(0.90470499) × R
    0.00613591999999999 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 24155.5999424776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90848734)-sin(0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.617917556336133)×R²
    abs(0.14112623-0.13499031)×0.00297825874392788×R²
    0.00613591999999999×0.00297825874392788×6371000²
    0.00613591999999999×0.00297825874392788×40589641000000     		ar = 580683904.930957m²