Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 534 / 350
↖ ↑ ↗
← N 49.382373°
E  7.734375°		 ← 25.449 km → N 49.382373°
E  8.085937°		 →
↑
25.508 km
↓
↑
25.508 km
↓
N 49.152970°
E  7.734375°		 ← 25.568 km →
650.683 km²		 N 49.152970°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52197265625 y=0.34228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52197265625 × 210)
    floor (0.52197265625 × 1024)
    floor (534.5)     		tx = 534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34228515625 × 210)
    floor (0.34228515625 × 1024)
    floor (350.5)     		ty = 350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 534 / 350 ti = "10/534/350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/534/350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 534 ÷ 210
    534 ÷ 1024     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 350 ÷ 210
    350 ÷ 1024     		y = 0.341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341796875 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994019550521484))-π/2
    2×atan(2.70207379528506)-π/2
    2×1.21634066217848-π/2
    2.43268132435697-1.57079632675     		φ = 0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 534 KachelY 350 0.13499031 0.86188500 7.734375 49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 535 KachelY 350 0.14112623 0.86188500 8.085937 49.382373
    Unten links KachelX 534 KachelY + 1 351 0.13499031 0.85788116 7.734375 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 535 KachelY + 1 351 0.14112623 0.85788116 8.085937 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86188500-0.85788116) × R
    0.00400383999999998 × 6371000     		dl = 25508.4646399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86188500-0.85788116) × R
    0.00400383999999998 × 6371000     		dr = 25508.4646399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.14112623) × cos(0.86188500) × R
    0.00613591999999999 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 25449.161058734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.14112623) × cos(0.85788116) × R
    0.00613591999999999 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 25567.7649642765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86188500)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.654041749545626)×R²
    abs(0.14112623-0.13499031)×0.00303397289486684×R²
    0.00613591999999999×0.00303397289486684×6371000²
    0.00613591999999999×0.00303397289486684×40589641000000     		ar = 650682595.993316m²