Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 541 / 333
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E 10.195312°		 ← 23.460 km → N 53.120405°
E 10.546875°		 →
↑
23.518 km
↓
↑
23.518 km
↓
N 52.908902°
E 10.195312°		 ← 23.576 km →
553.102 km²		 N 52.908902°
E 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52880859375 y=0.32568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52880859375 × 210)
    floor (0.52880859375 × 1024)
    floor (541.5)     		tx = 541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32568359375 × 210)
    floor (0.32568359375 × 1024)
    floor (333.5)     		ty = 333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 541 / 333 ti = "10/541/333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/541/333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 541 ÷ 210
    541 ÷ 1024     		x = 0.5283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 333 ÷ 210
    333 ÷ 1024     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17794177} λ = 0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 541 KachelY 333 0.17794177 0.92712597 10.195312 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 542 KachelY 333 0.18407769 0.92712597 10.546875 53.120405
    Unten links KachelX 541 KachelY + 1 334 0.17794177 0.92343454 10.195312 52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 542 KachelY + 1 334 0.18407769 0.92343454 10.546875 52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92343454) × R
    0.00369142999999994 × 6371000     		dl = 23518.1005299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92343454) × R
    0.00369142999999994 × 6371000     		dr = 23518.1005299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17794177-0.18407769) × cos(0.92712597) × R
    0.00613591999999999 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 23460.4604430744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17794177-0.18407769) × cos(0.92343454) × R
    0.00613591999999999 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 23575.7298283491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.603084063284091)×R²
    abs(0.18407769-0.17794177)×0.00294867347691308×R²
    0.00613591999999999×0.00294867347691308×6371000²
    0.00613591999999999×0.00294867347691308×40589641000000     		ar = 553101553.752941m²