Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55304 / 79880
↖ ↑ ↗
← S 36.615527°
W 28.103028°		 ← 245.15 m → S 36.615527°
W 28.100281°		 →
↑
245.16 m
↓
↑
245.16 m
↓
S 36.617732°
W 28.103028°		 ← 245.14 m →
60 100 m²		 S 36.617732°
W 28.100281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421939849853516 y=0.609439849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421939849853516 × 217)
    floor (0.421939849853516 × 131072)
    floor (55304.5)     		tx = 55304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609439849853516 × 217)
    floor (0.609439849853516 × 131072)
    floor (79880.5)     		ty = 79880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55304 / 79880 ti = "17/55304/79880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55304/79880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55304 ÷ 217
    55304 ÷ 131072     		x = 0.42193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79880 ÷ 217
    79880 ÷ 131072     		y = 0.60943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49049036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60943603515625 × 2 - 1) × π
    -0.2188720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.687606888150085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49049036} λ = -0.49049036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687606888150085))-π/2
    2×atan(0.502777834106109)-π/2
    2×0.465867406144333-π/2
    0.931734812288667-1.57079632675     		φ = -0.63906151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49049036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.103028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63906151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.615527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55304 KachelY 79880 -0.49049036 -0.63906151 -28.103028 -36.615527
    Oben rechts KachelX + 1 55305 KachelY 79880 -0.49044242 -0.63906151 -28.100281 -36.615527
    Unten links KachelX 55304 KachelY + 1 79881 -0.49049036 -0.63909999 -28.103028 -36.617732
    Unten rechts KachelX + 1 55305 KachelY + 1 79881 -0.49044242 -0.63909999 -28.100281 -36.617732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63906151--0.63909999) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dl = 245.156079999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63906151--0.63909999) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dr = 245.156079999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49049036--0.49044242) × cos(-0.63906151) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.802655866523485 × 6371000     		do = 245.1517619984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49049036--0.49044242) × cos(-0.63909999) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.802632914824933 × 6371000     		du = 245.144751958885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63906151)-sin(-0.63909999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802655866523485-0.802632914824933)×R²
    abs(-0.49044242--0.49049036)×2.29516985521538e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29516985521538e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29516985521538e-05×40589641000000     		ar = 60099.5857071252m²