Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 559 / 335
↖ ↑ ↗
← N 52.696361°
E 16.523438°		 ← 23.691 km → N 52.696361°
E 16.875000°		 →
↑
23.749 km
↓
↑
23.749 km
↓
N 52.482780°
E 16.523438°		 ← 23.807 km →
564.020 km²		 N 52.482780°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54638671875 y=0.32763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54638671875 × 210)
    floor (0.54638671875 × 1024)
    floor (559.5)     		tx = 559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32763671875 × 210)
    floor (0.32763671875 × 1024)
    floor (335.5)     		ty = 335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 559 / 335 ti = "10/559/335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/559/335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 559 ÷ 210
    559 ÷ 1024     		x = 0.5458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 335 ÷ 210
    335 ÷ 1024     		y = 0.3271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5458984375 × 2 - 1) × π
    0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3271484375 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28838839} λ = 0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08605839779199))-π/2
    2×atan(2.96257374148508)-π/2
    2×1.24526066570588-π/2
    2.49052133141176-1.57079632675     		φ = 0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 559 KachelY 335 0.28838839 0.91972500 16.523438 52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 560 KachelY 335 0.29452431 0.91972500 16.875000 52.696361
    Unten links KachelX 559 KachelY + 1 336 0.28838839 0.91599732 16.523438 52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 560 KachelY + 1 336 0.29452431 0.91599732 16.875000 52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91972500-0.91599732) × R
    0.00372768000000001 × 6371000     		dl = 23749.0492800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91972500-0.91599732) × R
    0.00372768000000001 × 6371000     		dr = 23749.0492800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28838839-0.29452431) × cos(0.91972500) × R
    0.00613592000000002 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 23691.241091822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28838839-0.29452431) × cos(0.91599732) × R
    0.00613592000000002 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 23806.9888110609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91972500)-sin(0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.608999833781129)×R²
    abs(0.29452431-0.28838839)×0.0029609096024884×R²
    0.00613592000000002×0.0029609096024884×6371000²
    0.00613592000000002×0.0029609096024884×40589641000000     		ar = 564019554.454074m²