Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 562 / 306
↖ ↑ ↗
← N 58.447733°
E 17.578125°		 ← 20.456 km → N 58.447733°
E 17.929687°		 →
↑
20.509 km
↓
↑
20.509 km
↓
N 58.263287°
E 17.578125°		 ← 20.563 km →
420.638 km²		 N 58.263287°
E 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54931640625 y=0.29931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54931640625 × 210)
    floor (0.54931640625 × 1024)
    floor (562.5)     		tx = 562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29931640625 × 210)
    floor (0.29931640625 × 1024)
    floor (306.5)     		ty = 306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 562 / 306 ti = "10/562/306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/562/306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 562 ÷ 210
    562 ÷ 1024     		x = 0.548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 306 ÷ 210
    306 ÷ 1024     		y = 0.298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548828125 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298828125 × 2 - 1) × π
    0.40234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26400016918164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30679616} λ = 0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26400016918164))-π/2
    2×atan(3.53955201315604)-π/2
    2×1.29545085226489-π/2
    2.59090170452978-1.57079632675     		φ = 1.02010538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02010538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.447733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 562 KachelY 306 0.30679616 1.02010538 17.578125 58.447733
    Oben rechts KachelX + 1 563 KachelY 306 0.31293208 1.02010538 17.929687 58.447733
    Unten links KachelX 562 KachelY + 1 307 0.30679616 1.01688619 17.578125 58.263287
    Unten rechts KachelX + 1 563 KachelY + 1 307 0.31293208 1.01688619 17.929687 58.263287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02010538-1.01688619) × R
    0.00321919000000004 × 6371000     		dl = 20509.4594900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02010538-1.01688619) × R
    0.00321919000000004 × 6371000     		dr = 20509.4594900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30679616-0.31293208) × cos(1.02010538) × R
    0.00613592000000002 × 0.523276153202488 × 6371000     		do = 20455.8832915278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30679616-0.31293208) × cos(1.01688619) × R
    0.00613592000000002 × 0.526016712216751 × 6371000     		du = 20563.0170774002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02010538)-sin(1.01688619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523276153202488-0.526016712216751)×R²
    abs(0.31293208-0.30679616)×0.0027405590142634×R²
    0.00613592000000002×0.0027405590142634×6371000²
    0.00613592000000002×0.0027405590142634×40589641000000     		ar = 420638100.983019m²