Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5633 / 3583
↖ ↑ ↗
← N 21.983802°
E 67.543946°		 ← 4 531.20 m → N 21.983802°
E 67.587891°		 →
↑
4 531.88 m
↓
↑
4 531.88 m
↓
N 21.943045°
E 67.543946°		 ← 4 532.50 m →
20 537 794 m²		 N 21.943045°
E 67.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68768310546875 y=0.43743896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68768310546875 × 213)
    floor (0.68768310546875 × 8192)
    floor (5633.5)     		tx = 5633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43743896484375 × 213)
    floor (0.43743896484375 × 8192)
    floor (3583.5)     		ty = 3583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5633 / 3583 ti = "13/5633/3583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5633/3583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5633 ÷ 213
    5633 ÷ 8192     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3583 ÷ 213
    3583 ÷ 8192     		y = 0.4373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.393466072081421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393466072081421))-π/2
    2×atan(1.48210899800564)-π/2
    2×0.977243021811214-π/2
    1.95448604362243-1.57079632675     		φ = 0.38368972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38368972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.983802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5633 KachelY 3583 1.17886424 0.38368972 67.543946 21.983802
    Oben rechts KachelX + 1 5634 KachelY 3583 1.17963123 0.38368972 67.587891 21.983802
    Unten links KachelX 5633 KachelY + 1 3584 1.17886424 0.38297839 67.543946 21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 5634 KachelY + 1 3584 1.17963123 0.38297839 67.587891 21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38368972-0.38297839) × R
    0.00071133000000001 × 6371000     		dl = 4531.88343000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38368972-0.38297839) × R
    0.00071133000000001 × 6371000     		dr = 4531.88343000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17963123) × cos(0.38368972) × R
    0.000766990000000023 × 0.927289724578809 × 6371000     		do = 4531.19501704044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17963123) × cos(0.38297839) × R
    0.000766990000000023 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 4532.49505790232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38368972)-sin(0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927289724578809-0.927555772393619)×R²
    abs(1.17963123-1.17886424)×0.000266047814809878×R²
    0.000766990000000023×0.000266047814809878×6371000²
    0.000766990000000023×0.000266047814809878×40589641000000     		ar = 20537794.298639m²