Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5634 / 3586
↖ ↑ ↗
← N 21.861499°
E 67.587891°		 ← 4 535.09 m → N 21.861499°
E 67.631836°		 →
↑
4 535.71 m
↓
↑
4 535.71 m
↓
N 21.820708°
E 67.587891°		 ← 4 536.38 m →
20 572 768 m²		 N 21.820708°
E 67.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68780517578125 y=0.43780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68780517578125 × 213)
    floor (0.68780517578125 × 8192)
    floor (5634.5)     		tx = 5634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43780517578125 × 213)
    floor (0.43780517578125 × 8192)
    floor (3586.5)     		ty = 3586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5634 / 3586 ti = "13/5634/3586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5634/3586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5634 ÷ 213
    5634 ÷ 8192     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3586 ÷ 213
    3586 ÷ 8192     		y = 0.437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    0.12451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391165100899658))-π/2
    2×atan(1.47870262839507)-π/2
    2×0.976175729559947-π/2
    1.95235145911989-1.57079632675     		φ = 0.38155513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38155513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.861499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5634 KachelY 3586 1.17963123 0.38155513 67.587891 21.861499
    Oben rechts KachelX + 1 5635 KachelY 3586 1.18039822 0.38155513 67.631836 21.861499
    Unten links KachelX 5634 KachelY + 1 3587 1.17963123 0.38084320 67.587891 21.820708
    Unten rechts KachelX + 1 5635 KachelY + 1 3587 1.18039822 0.38084320 67.631836 21.820708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38155513-0.38084320) × R
    0.000711930000000027 × 6371000     		dl = 4535.70603000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38155513-0.38084320) × R
    0.000711930000000027 × 6371000     		dr = 4535.70603000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.18039822) × cos(0.38155513) × R
    0.000766990000000023 × 0.928086683304752 × 6371000     		do = 4535.08935050716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.18039822) × cos(0.38084320) × R
    0.000766990000000023 × 0.928351545339893 × 6371000     		du = 4536.38359706466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38155513)-sin(0.38084320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928086683304752-0.928351545339893)×R²
    abs(1.18039822-1.17963123)×0.000264862035141644×R²
    0.000766990000000023×0.000264862035141644×6371000²
    0.000766990000000023×0.000264862035141644×40589641000000     		ar = 20572768.1435738m²