Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5636 / 5636
↖ ↑ ↗
← S 55.875311°
E 67.675781°		 ← 2 741.30 m → S 55.875311°
E 67.719727°		 →
↑
2 740.49 m
↓
↑
2 740.49 m
↓
S 55.899956°
E 67.675781°		 ← 2 739.56 m →
7 510 114 m²		 S 55.899956°
E 67.719727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68804931640625 y=0.68804931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68804931640625 × 213)
    floor (0.68804931640625 × 8192)
    floor (5636.5)     		tx = 5636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68804931640625 × 213)
    floor (0.68804931640625 × 8192)
    floor (5636.5)     		ty = 5636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5636 / 5636 ti = "13/5636/5636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5636/5636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5636 ÷ 213
    5636 ÷ 8192     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5636 ÷ 213
    5636 ÷ 8192     		y = 0.68798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    -0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18116520663818))-π/2
    2×atan(0.306920903891316)-π/2
    2×0.297794091077831-π/2
    0.595588182155663-1.57079632675     		φ = -0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5636 KachelY 5636 1.18116521 -0.97520814 67.675781 -55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 5637 KachelY 5636 1.18193220 -0.97520814 67.719727 -55.875311
    Unten links KachelX 5636 KachelY + 1 5637 1.18116521 -0.97563829 67.675781 -55.899956
    Unten rechts KachelX + 1 5637 KachelY + 1 5637 1.18193220 -0.97563829 67.719727 -55.899956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97520814--0.97563829) × R
    0.000430150000000018 × 6371000     		dl = 2740.48565000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97520814--0.97563829) × R
    0.000430150000000018 × 6371000     		dr = 2740.48565000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18193220) × cos(-0.97520814) × R
    0.000766990000000023 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 2741.30203417877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18193220) × cos(-0.97563829) × R
    0.000766990000000023 × 0.560639625433125 × 6371000     		du = 2739.56176778716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97520814)-sin(-0.97563829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.560639625433125)×R²
    abs(1.18193220-1.18116521)×0.000356138090922942×R²
    0.000766990000000023×0.000356138090922942×6371000²
    0.000766990000000023×0.000356138090922942×40589641000000     		ar = 7510114.41524417m²