Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56832 / 41472
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
E132.187500°		 ← 446.25 m → S 43.068888°
E132.192993°		 →
↑
446.16 m
↓
↑
446.16 m
↓
S 43.072900°
E132.187500°		 ← 446.22 m →
199 092 m²		 S 43.072900°
E132.192993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867195129394531 y=0.632820129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867195129394531 × 216)
    floor (0.867195129394531 × 65536)
    floor (56832.5)     		tx = 56832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632820129394531 × 216)
    floor (0.632820129394531 × 65536)
    floor (41472.5)     		ty = 41472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56832 / 41472 ti = "16/56832/41472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56832/41472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56832 ÷ 216
    56832 ÷ 65536     		x = 0.8671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41472 ÷ 216
    41472 ÷ 65536     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8671875 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30710710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30710710} λ = 2.30710710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30710710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56832 KachelY 41472 2.30710710 -0.75169390 132.187500 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 56833 KachelY 41472 2.30720298 -0.75169390 132.192993 -43.068888
    Unten links KachelX 56832 KachelY + 1 41473 2.30710710 -0.75176393 132.187500 -43.072900
    Unten rechts KachelX + 1 56833 KachelY + 1 41473 2.30720298 -0.75176393 132.192993 -43.072900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.75176393) × R
    7.00299999999432e-05 × 6371000     		dl = 446.161129999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.75176393) × R
    7.00299999999432e-05 × 6371000     		dr = 446.161129999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30710710-2.30720298) × cos(-0.75169390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 446.247281408544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30710710-2.30720298) × cos(-0.75176393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.730485368133347 × 6371000     		du = 446.218068242307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.75176393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.730485368133347)×R²
    abs(2.30720298-2.30710710)×4.78236808679755e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78236808679755e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78236808679755e-05×40589641000000     		ar = 199091.674524026m²