Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57347 / 40961
↖ ↑ ↗
← S 40.984045°
E135.016479°		 ← 461.13 m → S 40.984045°
E135.021973°		 →
↑
461.07 m
↓
↑
461.07 m
↓
S 40.988192°
E135.016479°		 ← 461.10 m →
212 605 m²		 S 40.988192°
E135.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875053405761719 y=0.625022888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875053405761719 × 216)
    floor (0.875053405761719 × 65536)
    floor (57347.5)     		tx = 57347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625022888183594 × 216)
    floor (0.625022888183594 × 65536)
    floor (40961.5)     		ty = 40961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57347 / 40961 ti = "16/57347/40961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57347/40961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57347 ÷ 216
    57347 ÷ 65536     		x = 0.875045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40961 ÷ 216
    40961 ÷ 65536     		y = 0.625015258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875045776367188 × 2 - 1) × π
    0.750091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35648211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625015258789062 × 2 - 1) × π
    -0.250030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.78549403717424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35648211} λ = 2.35648211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78549403717424))-π/2
    2×atan(0.455894417351079)-π/2
    2×0.427744900851302-π/2
    0.855489801702605-1.57079632675     		φ = -0.71530653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35648211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71530653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.984045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57347 KachelY 40961 2.35648211 -0.71530653 135.016479 -40.984045
    Oben rechts KachelX + 1 57348 KachelY 40961 2.35657799 -0.71530653 135.021973 -40.984045
    Unten links KachelX 57347 KachelY + 1 40962 2.35648211 -0.71537890 135.016479 -40.988192
    Unten rechts KachelX + 1 57348 KachelY + 1 40962 2.35657799 -0.71537890 135.021973 -40.988192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71530653--0.71537890) × R
    7.23700000000438e-05 × 6371000     		dl = 461.069270000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71530653--0.71537890) × R
    7.23700000000438e-05 × 6371000     		dr = 461.069270000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35648211-2.35657799) × cos(-0.71530653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754892239333438 × 6371000     		do = 461.127041637042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35648211-2.35657799) × cos(-0.71537890) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754844773575751 × 6371000     		du = 461.09804710871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71530653)-sin(-0.71537890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754892239333438-0.754844773575751)×R²
    abs(2.35657799-2.35648211)×4.74657576866599e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74657576866599e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74657576866599e-05×40589641000000     		ar = 212604.824314678m²