Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57348 / 40964
↖ ↑ ↗
← N 55.770393°
W 22.489013°		 ← 171.77 m → N 55.770393°
W 22.486267°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
N 55.768849°
W 22.489013°		 ← 171.78 m →
29 504 m²		 N 55.768849°
W 22.486267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437534332275391 y=0.312534332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437534332275391 × 217)
    floor (0.437534332275391 × 131072)
    floor (57348.5)     		tx = 57348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312534332275391 × 217)
    floor (0.312534332275391 × 131072)
    floor (40964.5)     		ty = 40964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57348 / 40964 ti = "17/57348/40964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57348/40964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57348 ÷ 217
    57348 ÷ 131072     		x = 0.437530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40964 ÷ 217
    40964 ÷ 131072     		y = 0.312530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.12493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17790549746402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39250733} λ = -0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17790549746402))-π/2
    2×atan(3.24756504126112)-π/2
    2×1.27208665995417-π/2
    2.54417331990834-1.57079632675     		φ = 0.97337699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97337699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.770393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57348 KachelY 40964 -0.39250733 0.97337699 -22.489013 55.770393
    Oben rechts KachelX + 1 57349 KachelY 40964 -0.39245940 0.97337699 -22.486267 55.770393
    Unten links KachelX 57348 KachelY + 1 40965 -0.39250733 0.97335003 -22.489013 55.768849
    Unten rechts KachelX + 1 57349 KachelY + 1 40965 -0.39245940 0.97335003 -22.486267 55.768849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97337699-0.97335003) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97337699-0.97335003) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39250733--0.39245940) × cos(0.97337699) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.562510682297614 × 6371000     		do = 171.769403842991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39250733--0.39245940) × cos(0.97335003) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.562532972352043 × 6371000     		du = 171.77621037926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97337699)-sin(0.97335003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562510682297614-0.562532972352043)×R²
    abs(-0.39245940--0.39250733)×2.22900544289972e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22900544289972e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22900544289972e-05×40589641000000     		ar = 29504.068380452m²