Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59391 / 43009
↖ ↑ ↗
← S 48.926108°
E146.244507°		 ← 401.31 m → S 48.926108°
E146.250000°		 →
↑
401.31 m
↓
↑
401.31 m
↓
S 48.929717°
E146.244507°		 ← 401.28 m →
161 042 m²		 S 48.929717°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906242370605469 y=0.656272888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906242370605469 × 216)
    floor (0.906242370605469 × 65536)
    floor (59391.5)     		tx = 59391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656272888183594 × 216)
    floor (0.656272888183594 × 65536)
    floor (43009.5)     		ty = 43009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59391 / 43009 ti = "16/59391/43009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59391/43009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59391 ÷ 216
    59391 ÷ 65536     		x = 0.906234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43009 ÷ 216
    43009 ÷ 65536     		y = 0.656265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906234741210938 × 2 - 1) × π
    0.812469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55244816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656265258789062 × 2 - 1) × π
    -0.312530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98184357801799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55244816} λ = 2.55244816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98184357801799))-π/2
    2×atan(0.374619820967796)-π/2
    2×0.358437320972796-π/2
    0.716874641945591-1.57079632675     		φ = -0.85392168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55244816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85392168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.926108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59391 KachelY 43009 2.55244816 -0.85392168 146.244507 -48.926108
    Oben rechts KachelX + 1 59392 KachelY 43009 2.55254403 -0.85392168 146.250000 -48.926108
    Unten links KachelX 59391 KachelY + 1 43010 2.55244816 -0.85398467 146.244507 -48.929717
    Unten rechts KachelX + 1 59392 KachelY + 1 43010 2.55254403 -0.85398467 146.250000 -48.929717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85392168--0.85398467) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dl = 401.309289999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85392168--0.85398467) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dr = 401.309289999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55244816-2.55254403) × cos(-0.85392168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657031796974519 × 6371000     		do = 401.306986093151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55244816-2.55254403) × cos(-0.85398467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65698430984928 × 6371000     		du = 401.277981537822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85392168)-sin(-0.85398467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657031796974519-0.65698430984928)×R²
    abs(2.55254403-2.55244816)×4.74871252396092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74871252396092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74871252396092e-05×40589641000000     		ar = 161042.401815602m²