Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 608 / 416
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
E 33.750000°		 ← 33.169 km → N 31.952162°
E 34.101563°		 →
↑
33.223 km
↓
↑
33.223 km
↓
N 31.653381°
E 33.750000°		 ← 33.277 km →
1 103.76 km²		 N 31.653381°
E 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59423828125 y=0.40673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59423828125 × 210)
    floor (0.59423828125 × 1024)
    floor (608.5)     		tx = 608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40673828125 × 210)
    floor (0.40673828125 × 1024)
    floor (416.5)     		ty = 416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 608 / 416 ti = "10/608/416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/608/416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 608 ÷ 210
    608 ÷ 1024     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 416 ÷ 210
    416 ÷ 1024     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 608 KachelY 416 0.58904862 0.55767043 33.750000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 609 KachelY 416 0.59518455 0.55767043 34.101563 31.952162
    Unten links KachelX 608 KachelY + 1 417 0.58904862 0.55245572 33.750000 31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 609 KachelY + 1 417 0.59518455 0.55245572 34.101563 31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.55245572) × R
    0.00521471000000007 × 6371000     		dl = 33222.9174100004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.55245572) × R
    0.00521471000000007 × 6371000     		dr = 33222.9174100004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59518455) × cos(0.55767043) × R
    0.00613593000000001 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 33169.1892204157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59518455) × cos(0.55245572) × R
    0.00613593000000001 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 33276.6192602904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.851238379268632)×R²
    abs(0.59518455-0.58904862)×0.00274813292517362×R²
    0.00613593000000001×0.00274813292517362×6371000²
    0.00613593000000001×0.00274813292517362×40589641000000     		ar = 1103764304.93906m²