Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 609 / 416
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
E 34.101563°		 ← 33.169 km → N 31.952162°
E 34.453125°		 →
↑
33.223 km
↓
↑
33.223 km
↓
N 31.653381°
E 34.101563°		 ← 33.277 km →
1 103.76 km²		 N 31.653381°
E 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59521484375 y=0.40673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59521484375 × 210)
    floor (0.59521484375 × 1024)
    floor (609.5)     		tx = 609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40673828125 × 210)
    floor (0.40673828125 × 1024)
    floor (416.5)     		ty = 416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 609 / 416 ti = "10/609/416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/609/416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 609 ÷ 210
    609 ÷ 1024     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 416 ÷ 210
    416 ÷ 1024     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 609 KachelY 416 0.59518455 0.55767043 34.101563 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 610 KachelY 416 0.60132047 0.55767043 34.453125 31.952162
    Unten links KachelX 609 KachelY + 1 417 0.59518455 0.55245572 34.101563 31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 610 KachelY + 1 417 0.60132047 0.55245572 34.453125 31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.55245572) × R
    0.00521471000000007 × 6371000     		dl = 33222.9174100004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.55245572) × R
    0.00521471000000007 × 6371000     		dr = 33222.9174100004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.60132047) × cos(0.55767043) × R
    0.00613591999999996 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 33169.1351631018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.60132047) × cos(0.55245572) × R
    0.00613591999999996 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 33276.5650278929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.851238379268632)×R²
    abs(0.60132047-0.59518455)×0.00274813292517362×R²
    0.00613591999999996×0.00274813292517362×6371000²
    0.00613591999999996×0.00274813292517362×40589641000000     		ar = 1103762506.08492m²