Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 610 / 290
↖ ↑ ↗
← N 61.270233°
E 34.453125°		 ← 18.791 km → N 61.270233°
E 34.804687°		 →
↑
18.841 km
↓
↑
18.841 km
↓
N 61.100789°
E 34.453125°		 ← 18.892 km →
354.996 km²		 N 61.100789°
E 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59619140625 y=0.28369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59619140625 × 210)
    floor (0.59619140625 × 1024)
    floor (610.5)     		tx = 610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28369140625 × 210)
    floor (0.28369140625 × 1024)
    floor (290.5)     		ty = 290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 610 / 290 ti = "10/610/290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/610/290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 610 ÷ 210
    610 ÷ 1024     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 290 ÷ 210
    290 ÷ 1024     		y = 0.283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283203125 × 2 - 1) × π
    0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36217493960352))-π/2
    2×atan(3.90467650879763)-π/2
    2×1.32008181121254-π/2
    2.64016362242508-1.57079632675     		φ = 1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 610 KachelY 290 0.60132047 1.06936730 34.453125 61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 611 KachelY 290 0.60745639 1.06936730 34.804687 61.270233
    Unten links KachelX 610 KachelY + 1 291 0.60132047 1.06640994 34.453125 61.100789
    Unten rechts KachelX + 1 611 KachelY + 1 291 0.60745639 1.06640994 34.804687 61.100789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06936730-1.06640994) × R
    0.00295735999999991 × 6371000     		dl = 18841.3405599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06936730-1.06640994) × R
    0.00295735999999991 × 6371000     		dr = 18841.3405599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60745639) × cos(1.06936730) × R
    0.00613591999999996 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 18790.683046215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60745639) × cos(1.06640994) × R
    0.00613591999999996 × 0.483270330661515 × 6371000     		du = 18891.9778242685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06936730)-sin(1.06640994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.483270330661515)×R²
    abs(0.60745639-0.60132047)×0.0025911930100464×R²
    0.00613591999999996×0.0025911930100464×6371000²
    0.00613591999999996×0.0025911930100464×40589641000000     		ar = 354996182.066303m²