Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 610 / 418
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
E 34.453125°		 ← 33.383 km → N 31.353637°
E 34.804687°		 →
↑
33.437 km
↓
↑
33.437 km
↓
N 31.052934°
E 34.453125°		 ← 33.490 km →
1 118.01 km²		 N 31.052934°
E 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59619140625 y=0.40869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59619140625 × 210)
    floor (0.59619140625 × 1024)
    floor (610.5)     		tx = 610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40869140625 × 210)
    floor (0.40869140625 × 1024)
    floor (418.5)     		ty = 418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 610 / 418 ti = "10/610/418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/610/418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 610 ÷ 210
    610 ÷ 1024     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 418 ÷ 210
    418 ÷ 1024     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 610 KachelY 418 0.60132047 0.54722420 34.453125 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 611 KachelY 418 0.60745639 0.54722420 34.804687 31.353637
    Unten links KachelX 610 KachelY + 1 419 0.60132047 0.54197594 34.453125 31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 611 KachelY + 1 419 0.60745639 0.54197594 34.804687 31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.54197594) × R
    0.00524826 × 6371000     		dl = 33436.66446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.54197594) × R
    0.00524826 × 6371000     		dr = 33436.66446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60745639) × cos(0.54722420) × R
    0.00613591999999996 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 33383.4319231538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60745639) × cos(0.54197594) × R
    0.00613591999999996 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 33489.7227192465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.856691105761415)×R²
    abs(0.60745639-0.60132047)×0.0027189947316163×R²
    0.00613591999999996×0.0027189947316163×6371000²
    0.00613591999999996×0.0027189947316163×40589641000000     		ar = 1118010182.80876m²