Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 612 / 420
↖ ↑ ↗
← N 30.751278°
E 35.156250°		 ← 33.595 km → N 30.751278°
E 35.507813°		 →
↑
33.648 km
↓
↑
33.648 km
↓
N 30.448674°
E 35.156250°		 ← 33.701 km →
1 132.19 km²		 N 30.448674°
E 35.507813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59814453125 y=0.41064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59814453125 × 210)
    floor (0.59814453125 × 1024)
    floor (612.5)     		tx = 612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41064453125 × 210)
    floor (0.41064453125 × 1024)
    floor (420.5)     		ty = 420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 612 / 420 ti = "10/612/420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/612/420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 612 ÷ 210
    612 ÷ 1024     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 420 ÷ 210
    420 ÷ 1024     		y = 0.41015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41015625 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564504929925781))-π/2
    2×atan(1.75857694835724)-π/2
    2×1.05375368658604-π/2
    2.10750737317209-1.57079632675     		φ = 0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 612 KachelY 420 0.61359232 0.53671105 35.156250 30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 613 KachelY 420 0.61972824 0.53671105 35.507813 30.751278
    Unten links KachelX 612 KachelY + 1 421 0.61359232 0.53142961 35.156250 30.448674
    Unten rechts KachelX + 1 613 KachelY + 1 421 0.61972824 0.53142961 35.507813 30.448674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53671105-0.53142961) × R
    0.00528143999999997 × 6371000     		dl = 33648.0542399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53671105-0.53142961) × R
    0.00528143999999997 × 6371000     		dr = 33648.0542399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61972824) × cos(0.53671105) × R
    0.00613592000000007 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 33595.4234769961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61972824) × cos(0.53142961) × R
    0.00613592000000007 × 0.862083473545203 × 6371000     		du = 33700.5208711886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53671105)-sin(0.53142961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.862083473545203)×R²
    abs(0.61972824-0.61359232)×0.00268846665582201×R²
    0.00613592000000007×0.00268846665582201×6371000²
    0.00613592000000007×0.00268846665582201×40589641000000     		ar = 1132191424.52311m²