Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6120 / 10344
↖ ↑ ↗
← S 42.682435°
W 45.527344°		 ← 1 796.11 m → S 42.682435°
W 45.505371°		 →
↑
1 795.86 m
↓
↑
1 795.86 m
↓
S 42.698586°
W 45.527344°		 ← 1 795.64 m →
3 225 136 m²		 S 42.698586°
W 45.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373565673828125 y=0.631378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373565673828125 × 214)
    floor (0.373565673828125 × 16384)
    floor (6120.5)     		tx = 6120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631378173828125 × 214)
    floor (0.631378173828125 × 16384)
    floor (10344.5)     		ty = 10344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6120 / 10344 ti = "14/6120/10344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6120/10344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6120 ÷ 214
    6120 ÷ 16384     		x = 0.37353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10344 ÷ 214
    10344 ÷ 16384     		y = 0.63134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.825281663858887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79460205} λ = -0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825281663858887))-π/2
    2×atan(0.438111574887824)-π/2
    2×0.41292364817031-π/2
    0.82584729634062-1.57079632675     		φ = -0.74494903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74494903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.682435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6120 KachelY 10344 -0.79460205 -0.74494903 -45.527344 -42.682435
    Oben rechts KachelX + 1 6121 KachelY 10344 -0.79421855 -0.74494903 -45.505371 -42.682435
    Unten links KachelX 6120 KachelY + 1 10345 -0.79460205 -0.74523091 -45.527344 -42.698586
    Unten rechts KachelX + 1 6121 KachelY + 1 10345 -0.79421855 -0.74523091 -45.505371 -42.698586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74494903--0.74523091) × R
    0.000281879999999957 × 6371000     		dl = 1795.85747999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74494903--0.74523091) × R
    0.000281879999999957 × 6371000     		dr = 1795.85747999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79460205--0.79421855) × cos(-0.74494903) × R
    0.000383499999999981 × 0.735122457649648 × 6371000     		do = 1796.10889564246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79460205--0.79421855) × cos(-0.74523091) × R
    0.000383499999999981 × 0.734931332314747 × 6371000     		du = 1795.64192322089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74494903)-sin(-0.74523091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735122457649648-0.734931332314747)×R²
    abs(-0.79421855--0.79460205)×0.000191125334900843×R²
    0.000383499999999981×0.000191125334900843×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191125334900843×40589641000000     		ar = 3225136.30853146m²