Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61442 / 45058
↖ ↑ ↗
← N 48.918890°
W 11.244507°		 ← 200.70 m → N 48.918890°
W 11.241760°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
N 48.917085°
W 11.244507°		 ← 200.71 m →
40 279 m²		 N 48.917085°
W 11.241760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468769073486328 y=0.343769073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468769073486328 × 217)
    floor (0.468769073486328 × 131072)
    floor (61442.5)     		tx = 61442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343769073486328 × 217)
    floor (0.343769073486328 × 131072)
    floor (45058.5)     		ty = 45058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61442 / 45058 ti = "17/61442/45058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61442/45058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61442 ÷ 217
    61442 ÷ 131072     		x = 0.468765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45058 ÷ 217
    45058 ÷ 131072     		y = 0.343765258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468765258789062 × 2 - 1) × π
    -0.062469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19625367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343765258789062 × 2 - 1) × π
    0.312469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.98165183041951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19625367} λ = -0.19625367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98165183041951))-π/2
    2×atan(2.6688611088463)-π/2
    2×1.212296009135-π/2
    2.42459201827-1.57079632675     		φ = 0.85379569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19625367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85379569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.918890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61442 KachelY 45058 -0.19625367 0.85379569 -11.244507 48.918890
    Oben rechts KachelX + 1 61443 KachelY 45058 -0.19620573 0.85379569 -11.241760 48.918890
    Unten links KachelX 61442 KachelY + 1 45059 -0.19625367 0.85376419 -11.244507 48.917085
    Unten rechts KachelX + 1 61443 KachelY + 1 45059 -0.19620573 0.85376419 -11.241760 48.917085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85379569-0.85376419) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85379569-0.85376419) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19625367--0.19620573) × cos(0.85379569) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657126770941817 × 6371000     		do = 200.703430288699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19625367--0.19620573) × cos(0.85376419) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657150514688272 × 6371000     		du = 200.710682240031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85379569)-sin(0.85376419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657126770941817-0.657150514688272)×R²
    abs(-0.19620573--0.19625367)×2.3743746455307e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3743746455307e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3743746455307e-05×40589641000000     		ar = 40279.1966501325m²