Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61456 / 36880
↖ ↑ ↗
← N 61.585492°
W 11.206055°		 ← 145.34 m → N 61.585492°
W 11.203308°		 →
↑
145.32 m
↓
↑
145.32 m
↓
N 61.584185°
W 11.206055°		 ← 145.34 m →
21 121 m²		 N 61.584185°
W 11.203308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468875885009766 y=0.281375885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468875885009766 × 217)
    floor (0.468875885009766 × 131072)
    floor (61456.5)     		tx = 61456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281375885009766 × 217)
    floor (0.281375885009766 × 131072)
    floor (36880.5)     		ty = 36880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61456 / 36880 ti = "17/61456/36880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61456/36880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61456 ÷ 217
    61456 ÷ 131072     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36880 ÷ 217
    36880 ÷ 131072     		y = 0.2813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2813720703125 × 2 - 1) × π
    0.437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37367979551233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37367979551233))-π/2
    2×atan(3.94985865809609)-π/2
    2×1.32283296840251-π/2
    2.64566593680503-1.57079632675     		φ = 1.07486961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07486961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.585492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61456 KachelY 36880 -0.19558255 1.07486961 -11.206055 61.585492
    Oben rechts KachelX + 1 61457 KachelY 36880 -0.19553461 1.07486961 -11.203308 61.585492
    Unten links KachelX 61456 KachelY + 1 36881 -0.19558255 1.07484680 -11.206055 61.584185
    Unten rechts KachelX + 1 61457 KachelY + 1 36881 -0.19553461 1.07484680 -11.203308 61.584185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07486961-1.07484680) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dl = 145.322509999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07486961-1.07484680) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dr = 145.322509999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19553461) × cos(1.07486961) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.475846928957086 × 6371000     		do = 145.335900403434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19553461) × cos(1.07484680) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.475866990869533 × 6371000     		du = 145.342027827889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07486961)-sin(1.07484680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475846928957086-0.475866990869533)×R²
    abs(-0.19553461--0.19558255)×2.00619124475221e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.00619124475221e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.00619124475221e-05×40589641000000     		ar = 21121.0230668265m²