Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6206 / 10310
↖ ↑ ↗
← S 42.130821°
W 43.637695°		 ← 1 811.92 m → S 42.130821°
W 43.615723°		 →
↑
1 811.72 m
↓
↑
1 811.72 m
↓
S 42.147115°
W 43.637695°		 ← 1 811.46 m →
3 282 281 m²		 S 42.147115°
W 43.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378814697265625 y=0.629302978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378814697265625 × 214)
    floor (0.378814697265625 × 16384)
    floor (6206.5)     		tx = 6206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629302978515625 × 214)
    floor (0.629302978515625 × 16384)
    floor (10310.5)     		ty = 10310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6206 / 10310 ti = "14/6206/10310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6206/10310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6206 ÷ 214
    6206 ÷ 16384     		x = 0.3787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10310 ÷ 214
    10310 ÷ 16384     		y = 0.6292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812242827162232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76162146} λ = -0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812242827162232))-π/2
    2×atan(0.443861444511574)-π/2
    2×0.417737389262401-π/2
    0.835474778524802-1.57079632675     		φ = -0.73532155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73532155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.130821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6206 KachelY 10310 -0.76162146 -0.73532155 -43.637695 -42.130821
    Oben rechts KachelX + 1 6207 KachelY 10310 -0.76123797 -0.73532155 -43.615723 -42.130821
    Unten links KachelX 6206 KachelY + 1 10311 -0.76162146 -0.73560592 -43.637695 -42.147115
    Unten rechts KachelX + 1 6207 KachelY + 1 10311 -0.76123797 -0.73560592 -43.615723 -42.147115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73532155--0.73560592) × R
    0.000284370000000034 × 6371000     		dl = 1811.72127000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73532155--0.73560592) × R
    0.000284370000000034 × 6371000     		dr = 1811.72127000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76162146--0.76123797) × cos(-0.73532155) × R
    0.000383489999999931 × 0.741615087755575 × 6371000     		do = 1811.92495089124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76162146--0.76123797) × cos(-0.73560592) × R
    0.000383489999999931 × 0.741424295080333 × 6371000     		du = 1811.45880340527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73532155)-sin(-0.73560592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741615087755575-0.741424295080333)×R²
    abs(-0.76123797--0.76162146)×0.000190792675241802×R²
    0.000383489999999931×0.000190792675241802×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190792675241802×40589641000000     		ar = 3282280.7306352m²