Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6215 / 10313
↖ ↑ ↗
← S 42.179688°
W 43.439941°		 ← 1 810.53 m → S 42.179688°
W 43.417969°		 →
↑
1 810.32 m
↓
↑
1 810.32 m
↓
S 42.195969°
W 43.439941°		 ← 1 810.06 m →
3 277 210 m²		 S 42.195969°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379364013671875 y=0.629486083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379364013671875 × 214)
    floor (0.379364013671875 × 16384)
    floor (6215.5)     		tx = 6215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629486083984375 × 214)
    floor (0.629486083984375 × 16384)
    floor (10313.5)     		ty = 10313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6215 / 10313 ti = "14/6215/10313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6215/10313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6215 ÷ 214
    6215 ÷ 16384     		x = 0.37933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10313 ÷ 214
    10313 ÷ 16384     		y = 0.62945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.2413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75817000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.2589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813393312753113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75817000} λ = -0.75817000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813393312753113))-π/2
    2×atan(0.443351081953994)-π/2
    2×0.417310945157912-π/2
    0.834621890315825-1.57079632675     		φ = -0.73617444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75817000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.439941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73617444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.179688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6215 KachelY 10313 -0.75817000 -0.73617444 -43.439941 -42.179688
    Oben rechts KachelX + 1 6216 KachelY 10313 -0.75778651 -0.73617444 -43.417969 -42.179688
    Unten links KachelX 6215 KachelY + 1 10314 -0.75817000 -0.73645859 -43.439941 -42.195969
    Unten rechts KachelX + 1 6216 KachelY + 1 10314 -0.75778651 -0.73645859 -43.417969 -42.195969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73617444--0.73645859) × R
    0.000284150000000039 × 6371000     		dl = 1810.31965000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73617444--0.73645859) × R
    0.000284150000000039 × 6371000     		dr = 1810.31965000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75817000--0.75778651) × cos(-0.73617444) × R
    0.000383490000000042 × 0.741042677597335 × 6371000     		do = 1810.52642992721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75817000--0.75778651) × cos(-0.73645859) × R
    0.000383490000000042 × 0.740851852913124 × 6371000     		du = 1810.06020423645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73617444)-sin(-0.73645859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741042677597335-0.740851852913124)×R²
    abs(-0.75778651--0.75817000)×0.000190824684210944×R²
    0.000383490000000042×0.000190824684210944×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190824684210944×40589641000000     		ar = 3277209.58622879m²