Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6216 / 10311
↖ ↑ ↗
← S 42.147115°
W 43.417969°		 ← 1 811.51 m → S 42.147115°
W 43.395996°		 →
↑
1 811.21 m
↓
↑
1 811.21 m
↓
S 42.163403°
W 43.417969°		 ← 1 811.04 m →
3 280 599 m²		 S 42.163403°
W 43.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379425048828125 y=0.629364013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379425048828125 × 214)
    floor (0.379425048828125 × 16384)
    floor (6216.5)     		tx = 6216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629364013671875 × 214)
    floor (0.629364013671875 × 16384)
    floor (10311.5)     		ty = 10311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6216 / 10311 ti = "14/6216/10311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6216/10311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6216 ÷ 214
    6216 ÷ 16384     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10311 ÷ 214
    10311 ÷ 16384     		y = 0.62933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.2586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812626322359192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812626322359192))-π/2
    2×atan(0.443691258414349)-π/2
    2×0.417595204641901-π/2
    0.835190409283802-1.57079632675     		φ = -0.73560592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73560592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.147115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6216 KachelY 10311 -0.75778651 -0.73560592 -43.417969 -42.147115
    Oben rechts KachelX + 1 6217 KachelY 10311 -0.75740301 -0.73560592 -43.395996 -42.147115
    Unten links KachelX 6216 KachelY + 1 10312 -0.75778651 -0.73589021 -43.417969 -42.163403
    Unten rechts KachelX + 1 6217 KachelY + 1 10312 -0.75740301 -0.73589021 -43.395996 -42.163403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73560592--0.73589021) × R
    0.000284289999999965 × 6371000     		dl = 1811.21158999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73560592--0.73589021) × R
    0.000284289999999965 × 6371000     		dr = 1811.21158999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75740301) × cos(-0.73560592) × R
    0.000383499999999981 × 0.741424295080333 × 6371000     		do = 1811.50603954734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75740301) × cos(-0.73589021) × R
    0.000383499999999981 × 0.741233496148639 × 6371000     		du = 1811.03986461971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73560592)-sin(-0.73589021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741424295080333-0.741233496148639)×R²
    abs(-0.75740301--0.75778651)×0.000190798931694269×R²
    0.000383499999999981×0.000190798931694269×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190798931694269×40589641000000     		ar = 3280598.58556113m²