Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63489 / 43007
↖ ↑ ↗
← N 52.484453°
W  5.622253°		 ← 185.96 m → N 52.484453°
W  5.619507°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
N 52.482780°
W  5.622253°		 ← 185.97 m →
34 583 m²		 N 52.482780°
W  5.619507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484386444091797 y=0.328121185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484386444091797 × 217)
    floor (0.484386444091797 × 131072)
    floor (63489.5)     		tx = 63489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328121185302734 × 217)
    floor (0.328121185302734 × 131072)
    floor (43007.5)     		ty = 43007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63489 / 43007 ti = "17/63489/43007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63489/43007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63489 ÷ 217
    63489 ÷ 131072     		x = 0.484382629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43007 ÷ 217
    43007 ÷ 131072     		y = 0.328117370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484382629394531 × 2 - 1) × π
    -0.0312347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09812683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328117370605469 × 2 - 1) × π
    0.343765258789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.07997041154025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09812683} λ = -0.09812683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07997041154025))-π/2
    2×atan(2.94459242382212)-π/2
    2×1.2434114176305-π/2
    2.486822835261-1.57079632675     		φ = 0.91602651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09812683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.622253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91602651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.484453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63489 KachelY 43007 -0.09812683 0.91602651 -5.622253 52.484453
    Oben rechts KachelX + 1 63490 KachelY 43007 -0.09807890 0.91602651 -5.619507 52.484453
    Unten links KachelX 63489 KachelY + 1 43008 -0.09812683 0.91599732 -5.622253 52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 63490 KachelY + 1 43008 -0.09807890 0.91599732 -5.619507 52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91602651-0.91599732) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91602651-0.91599732) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09812683--0.09807890) × cos(0.91602651) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.608976680879195 × 6371000     		do = 185.958355495939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09812683--0.09807890) × cos(0.91599732) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 185.965425513074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91602651)-sin(0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608976680879195-0.608999833781129)×R²
    abs(-0.09807890--0.09812683)×2.31529019336651e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.31529019336651e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.31529019336651e-05×40589641000000     		ar = 34583.2379390913m²