Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63504 / 38928
↖ ↑ ↗
← N 58.790978°
W  5.581055°		 ← 158.26 m → N 58.790978°
W  5.578308°		 →
↑
158.26 m
↓
↑
158.26 m
↓
N 58.789555°
W  5.581055°		 ← 158.27 m →
25 046 m²		 N 58.789555°
W  5.578308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484500885009766 y=0.297000885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484500885009766 × 217)
    floor (0.484500885009766 × 131072)
    floor (63504.5)     		tx = 63504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297000885009766 × 217)
    floor (0.297000885009766 × 131072)
    floor (38928.5)     		ty = 38928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63504 / 38928 ti = "17/63504/38928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63504/38928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63504 ÷ 217
    63504 ÷ 131072     		x = 0.4844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38928 ÷ 217
    38928 ÷ 131072     		y = 0.2969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09740778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2969970703125 × 2 - 1) × π
    0.406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27550502509045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09740778} λ = -0.09740778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27550502509045))-π/2
    2×atan(3.58050920055627)-π/2
    2×1.29844623521668-π/2
    2.59689247043336-1.57079632675     		φ = 1.02609614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09740778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02609614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.790978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63504 KachelY 38928 -0.09740778 1.02609614 -5.581055 58.790978
    Oben rechts KachelX + 1 63505 KachelY 38928 -0.09735984 1.02609614 -5.578308 58.790978
    Unten links KachelX 63504 KachelY + 1 38929 -0.09740778 1.02607130 -5.581055 58.789555
    Unten rechts KachelX + 1 63505 KachelY + 1 38929 -0.09735984 1.02607130 -5.578308 58.789555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02609614-1.02607130) × R
    2.4840000000026e-05 × 6371000     		dl = 158.255640000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02609614-1.02607130) × R
    2.4840000000026e-05 × 6371000     		dr = 158.255640000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09740778--0.09735984) × cos(1.02609614) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518161688754766 × 6371000     		do = 158.259917227562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09740778--0.09735984) × cos(1.02607130) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518182933816699 × 6371000     		du = 158.266406016324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02609614)-sin(1.02607130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518161688754766-0.518182933816699)×R²
    abs(-0.09735984--0.09740778)×2.12450619326843e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12450619326843e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12450619326843e-05×40589641000000     		ar = 25046.0379321915m²