Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63552 / 38976
↖ ↑ ↗
← N 58.722599°
W  5.449219°		 ← 158.57 m → N 58.722599°
W  5.446472°		 →
↑
158.51 m
↓
↑
158.51 m
↓
N 58.721173°
W  5.449219°		 ← 158.58 m →
25 136 m²		 N 58.721173°
W  5.446472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484867095947266 y=0.297367095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484867095947266 × 217)
    floor (0.484867095947266 × 131072)
    floor (63552.5)     		tx = 63552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297367095947266 × 217)
    floor (0.297367095947266 × 131072)
    floor (38976.5)     		ty = 38976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63552 / 38976 ti = "17/63552/38976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63552/38976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63552 ÷ 217
    63552 ÷ 131072     		x = 0.48486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38976 ÷ 217
    38976 ÷ 131072     		y = 0.29736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29736328125 × 2 - 1) × π
    0.4052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27320405390869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09510681} λ = -0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27320405390869))-π/2
    2×atan(3.57228002325043)-π/2
    2×1.29784951082656-π/2
    2.59569902165312-1.57079632675     		φ = 1.02490269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02490269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.722599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63552 KachelY 38976 -0.09510681 1.02490269 -5.449219 58.722599
    Oben rechts KachelX + 1 63553 KachelY 38976 -0.09505887 1.02490269 -5.446472 58.722599
    Unten links KachelX 63552 KachelY + 1 38977 -0.09510681 1.02487781 -5.449219 58.721173
    Unten rechts KachelX + 1 63553 KachelY + 1 38977 -0.09505887 1.02487781 -5.446472 58.721173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02490269-1.02487781) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dl = 158.510480000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02490269-1.02487781) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dr = 158.510480000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09510681--0.09505887) × cos(1.02490269) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519182056613281 × 6371000     		do = 158.571563835821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09510681--0.09505887) × cos(1.02487781) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519203320484746 × 6371000     		du = 158.578058369498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02490269)-sin(1.02487781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519182056613281-0.519203320484746)×R²
    abs(-0.09505887--0.09510681)×2.12638714643942e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12638714643942e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12638714643942e-05×40589641000000     		ar = 25135.7694249894m²