Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63744 / 47360
↖ ↑ ↗
← N 44.590467°
W  4.921875°		 ← 217.46 m → N 44.590467°
W  4.919129°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
N 44.588511°
W  4.921875°		 ← 217.47 m →
47 300 m²		 N 44.588511°
W  4.919129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486331939697266 y=0.361331939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486331939697266 × 217)
    floor (0.486331939697266 × 131072)
    floor (63744.5)     		tx = 63744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361331939697266 × 217)
    floor (0.361331939697266 × 131072)
    floor (47360.5)     		ty = 47360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63744 / 47360 ti = "17/63744/47360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63744/47360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63744 ÷ 217
    63744 ÷ 131072     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47360 ÷ 217
    47360 ÷ 131072     		y = 0.361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361328125 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871301087494141))-π/2
    2×atan(2.39001845457747)-π/2
    2×1.17452339704674-π/2
    2.34904679409348-1.57079632675     		φ = 0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63744 KachelY 47360 -0.08590292 0.77825047 -4.921875 44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 63745 KachelY 47360 -0.08585499 0.77825047 -4.919129 44.590467
    Unten links KachelX 63744 KachelY + 1 47361 -0.08590292 0.77821633 -4.921875 44.588511
    Unten rechts KachelX + 1 63745 KachelY + 1 47361 -0.08585499 0.77821633 -4.919129 44.588511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77825047-0.77821633) × R
    3.41400000000158e-05 × 6371000     		dl = 217.505940000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77825047-0.77821633) × R
    3.41400000000158e-05 × 6371000     		dr = 217.505940000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08585499) × cos(0.77825047) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 217.461388715521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08585499) × cos(0.77821633) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.712166824870943 × 6371000     		du = 217.46870734119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77825047)-sin(0.77821633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.712166824870943)×R²
    abs(-0.08585499--0.08590292)×2.39670455055574e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.39670455055574e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.39670455055574e-05×40589641000000     		ar = 47299.9396932115m²